一.应用数学学科介绍
应用数学是把数学理论和方法应用于现代科学技术的一门学科，本专业重视数学理论和应用基础理论的研究，同时注重数学理论在数学物理、工程技术、科学计算和信息科学中的应用。
主要研究方向有：非线性偏微分方程理论及其应用，函数空间与算子理论及其应用，反应扩散方程，数学物理，生物数学，动力系统。
近年来本专业在反应扩散方程、生物数学、复合算子理论、微分动力系统、复动力系统、Toeplitz 算子与Berezin量子化方面取得了一系列有意义的研究成果。系统地讨论了超球、多圆柱上各种函数空间上的复合算子、Cesrao算子、Toeplitz算子的有界性与紧性问题及复合算子的谱结构，并在正规族理论、Picard定理、Julia集、Toeplitz算子与Berezin量子化问题等方面作了一些研究工作，研究成果被SCI期刊引用40余次。特别在微分方程方面的研究还具有一定的国际影响。研究了具有快速增长非线性项的合金相变方程组---Cahn-Hilliard系统，采取整体估计与经典分析相结合的方法证明了系统全局吸引子的存在性，完全解决了著名数学家Temam的相关开问题。对非自治系统的研究，是动力系统领域的一个难点，困难之一在于如何合理地定义吸引子等动力学对象并保证其具有与自治情形相类似的一些不变性质。综合应用度理论、全局分歧理论、上下解方法、Lyapunov- Schmidt方法及奇异性理论和Chen方法等工具，建立了参数激励系统周期分岔解的拓扑结构和系统参数之间的关系并探讨了多自由度非线性系统的动力学行为，研究了描述具有高速扩散的某些物理、化学现象的奇异非线性微分方程的边值问题，讨论了带扩散的多种群相互作用的生态系统解的共存及唯一性等问题的研究。近五年来本专业承担国家自然科学基金助的项目5项，重要学术刊物上发表论文60余篇，其中SCI收录30余篇。出版专著2本，其中熊洪允教授编写《应用数学基础》1998年获教育部科科技成果教材类2等奖。
二.应用数学主要研究方向介绍
1.弹性振动系统的控制
本研究方向主要研究弹性振动系统的控制。众所周知许多民用建筑、大型空间结构都是由众多的弹性部件组成。由于弹性体的柔性，自然有振动产生。基于操作性，安全性等方面的考虑，工程上要求设计各种主动和被动的稳定器或调节器，以抑制系统的振动。一个好的控制器设计，应使系统达到指数镇定性质。而反馈闭环系统的稳定性分析，则为分布参数系统研究中的困难问题。因此对弹性振动系统的控制设计及稳定性分析成为工程以及数学工作者研究的热点问题。本课题组在这样的工程背景下，研究常见的弹性振动系统三种基本组件：弦、Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁的控制问题。从弹性系统联结上分类，主要分为三类系统，单个系统、系列连结系统与网络系统。
本课题组1997－2003年主要研究对象是单个系统。对单根弦采用点同位（速度）反馈控制，达到系统的一致镇定并给出指数衰减率（SIAM Control Optim.2003）。对单根Timoshenko 梁，把控制器设计在边界,及内点，通过同位的观测值(位移、速度，剪切力等)反馈，很好地抑制了系统的振动，并达到闭环系统的一致稳定，并给出闭环系统Riesz 基性质(ESAIM: COCV,2003, IJMMS,2003, IMA Math. control information 2004, J. Optim.Theory Applications, 2004, IMA Applied Math. 2005, Integral Equ. Opera. Theory, 2005, Int. J. control, 2007,), 对单个变系数Rayleigh梁在边界反馈镇定下，也得到Riesz 基性质(System Control Letter 2004,V51, SIAM Control Optim.2005)， 从而系统的衰减率由本征值的最大实部确定。对这类具有谱分离性质的系统， 我们给出一般的系统精确可控性的充要条件(System Control Letter 2004,V52). 本部分研究内容源于国家攀登计划。自2003起本课题组开始研究系列连结的系统。由于弹性振动系统的系列连接，相邻部件的固有频率的相互影响，使得新系统物理性质远比单个弹性系统的性质复杂，其频谱也变的非常复杂，其本征值也出现多重性和不可分离性。特别在各个弦或梁的长度之比是无理数时，相应闭环系统的频谱表现为混沌分布。如何克服谱的多重性、不可分离性以及混沌分布。为了解决新的问题， 我们首先从数学的观点一般地研究系统，利用指数函数差分族，证明了闭环系统广义本征向量的(加括号) Riesz基性质(Journal Differential Equations, 2005，Differential and Integral Equations, 2005, Journal of Functional Analysis,2006, International Journal of control, 2007)。这些结果基本解决了系列连结的弦，Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁的系统中的理论问题，它们将在机器人与空间站等复杂系统的控制设计中得到很好的应用.本部分的研究得到国家自然科学基金资助。此外，我们还研究生物技术中常见系统的控制问题及时滞问题。我们主要是采用谱方法，利用系统的谱来刻划系统的相应性质。并对一些系统得到较好的结果， 给出了系统谱确定增长条件的扰动结果(IMA J. Math. Control Information, 2006, ESAIM:COCV. 2006)。目前，我们进入研究网络结构系统的控制与镇定阶段。
本研究组人员共有21人，教授二人， 副教授2人，博士生8 人，研究生12 人。在近五年内， 在国内外重要期刊发表论文45篇，其中SCI收录33 篇，EI收录15 篇，完成省部级项目一项，承担国家自然科学基金项目一项，合作研究项目一项，刘徽应用数学中心（教育部专项经费）2 项，当前可支配研究经费46万元。2007年国家自然科学基金申报，又获得批准一项(下年度经费可到位)。
2.小波变换、算子理论与Berezin量子化问题
小波变换、算子理论与Berezin量子化问题是一个综合性的现代数学与物理方面的研究课题。由于它的边缘性强，它的研究几乎涉及到所有的现代数学的概念和方法，其方法可应用到数学物理的几乎所有领域，如算子谱理论可用于量子力学和统计力学、流体动力学的线性化方程组及Gibbs场的研究；算子扰动理论可应用于量子场论、统计力学及其各种可积模型，包括平衡和非平衡两者，特别是研究所谓动力学方程，多质点系统的复合谱等等。
本研究方向包含理论与应用两方面的研究, 并在复合算子理论、复动力系统、小波变换、Toeplitz 算子与Berezin量子化方面取得了一系列有意义的研究成果。主要成果如下：
1.复合算子的有界性与紧性问题：系统地讨论了超球、多圆柱上Bloch型空间、Nevanlinna函数空间上的复合算子的有界性与紧性问题，利用华罗庚典型域上的矩阵运算技巧刻画了有界对称域上Bloch空间的复合算子，并给出了一些充要条件。主要成果发表在《The Michigan Mathematical Journal》、《 Science in China 》、《Complex Variables》等国内外重要期刊, 其研究成果已被国内外许多著名数学家引用, 其中被SCI期刊源引用27次，单篇引用10次。
2.复合算子谱理论：给出了多圆柱上不同Bloch空间之间及超球上不同Hardy 空间的加权复合算子的本性模估计，为进一步研究其谱奠定了基础，并且给出了圆盘上加权Hardy空间上紧复合算子的谱结构。主要成果发表在《Journal of inequalities and applications》、《Chinese Annals of Mathematics》等国内外重要期刊。
3.复动力系统方面：在正规族理论、Picard定理、Julia集等方面作了一些工作, 主要成果发表在《Complex Variables》、《Acta Mathematica Scientia》等国内外重要期刊。
4.Toeplitz算子与Berezin量子化问题: 讨论了单位球中Bergman空间上的Hankel算子的乘积的有界性与可换性，Berezin变换与量子化。在上个世纪七十年代，Berezin给出了第一个能以精确的方式理解二次量子化的方案。Berezin对一些具体的几何体给出了量子化，在这个过程中，由于Berezin有明确的表达式，我们可以详细地计算整个量子化过程，这是其它量子化方法所不能具备的,主要成果发表在《International J. Math.》等国内外重要期刊。Berezin量子化是基于函数空间理论和算子理论的一种方便易行的方法，而且在此方向上还有许多工作可做，如CR流形的量子化、有界对称域的量子化等。
本研究组人员共有8人，其中教授2人，副教授4人， 讲师2人。 在读博士生4人，硕士生15 人。 近五年来，在《 Michigan Math. J.》、《 Science in China 》、《Chin.Ann. of Math.》、《Journal of inequalities and applications》、《International J. Math.》、《Bulletin of the Australian Mathematical Society》等国内外著名杂志上发表论文30多篇，其中SCI核心期刊近20篇，被SCI核心期刊引用40余次，其中被他人引10余次。完成国家自然科学金资助协作项目2项,主持国家自然科学基金项目2项，国家自然科学基金合作研究项目1项。
3.非线性微分方程及其应用
以自然科学、社会科学及工程技术中诸多复杂问题为背景的微分方程与动力系统，不仅是传统数学的重要组成部分，更是当代数学的核心内容之一，在数学理论与实际应用之间架起了一座互通的桥梁。这方面的工作一直非常活跃，研究和应用的领域也日渐扩大，其理论、思想和方法近乎渗透到了各个不同的学科领域。我系微分方程与动力系统课题组近年来主要从事非线性常、偏微分方程的动力学行为和动力系统理论与应用方面的研究工作，在一些较为困难的问题上取得了系列有特色和价值的成果。
1．研究了具有快速增长非线性项的合金相变方程组---Cahn-Hilliard系统，采取整体估计与经典分析相结合的方法证明了系统全局吸引子的存在性，完全解决了著名数学家Temam的相关开问题。有关论文已被全文录入专著《Global Attractor in Abstract Parabolic Problems》(Cholewa, Dlotko著, 剑桥大学出版社, 2000), 同时被著名数学家Sell和伍卓群等人的专著所收录。
2．对非自治系统的研究，是动力系统领域的一个难点，困难之一在于如何合理地定义吸引子等动力学对象并保证其具有与自治情形相类似的一些不变性质。目前，国内外同行考虑较多的是用所谓的回拉吸引子（pullback attractor）。这种吸引子具有很好的非自治不变性，但遗憾的是其是否具有向前的吸引性是个悬而未决的问题。我们考虑了两类特殊的但在应用中又十分重要的系统---周期和概周期系统。对周期系统，引入了强正不变吸引子的概念，建立了其存在性并研究了吸引子在伴随系统下的不变性，由此出发成功地讨论了周期Navier-Stokes方程的某些动力学特性。关于概周期系统，我们研究了回拉吸引子A={a(t)}的向前吸引性和概周期性，刻划了耗散概周期系统的整体概周期行为并给出了概周期运动之存在性证明的一个新框架。我们还将这些结果用于空气动力学方程，给出了有界解集的一个十分简洁的刻划和概周期解的存在性。
3．多值（非光滑）动力系统与控制论、经济动力学、非光滑力学和生存理论等领域有着十分密切的联系，对其理论研究可以追溯到上世纪60年代。但由于这类系统自身的复杂性及所用工具的局限性，使得相关的工作进展缓慢，即便是一些基本问题尚待进一步澄清。最近，借鉴周期系统强正不变吸引子理论中的某些思想，我们成功地建立了只有上半连续性的多值动力系统和微分包含不变吸引子的存在性，给出了其Lyapunov函数的刻划，证明了吸引子在内外小扰动下的稳定性，并进一步建立了吸引子的Morse分解理论。我们将所得结果用于讨论小时滞对控制系统渐近能控性的影响，取得了一系列全新的结果，与已有工作相比，既无较强的正则性要求，也没有单调性限制，因此具有较为宽广的应用价值。部分成果已发表在SCI核心期刊《Disc. Cont. Dyn. Syst.》和《J. Diff. Eqns.》上。基于上述工作，我们还给出了非线性控制系统链控制集的Morse 分解刻划，突破了已有工作中控制项是仿射线性的限制，从而为寻找一般非线性系统的可控域奠定了基础，相关工作已被《SIAM J. Cont. Opt.》刊出。
4.综合应用度理论、全局分歧理论、上下解方法、Lyapunov- Schmidt方法及奇异性理论和Chen方法等工具，建立了参数激励系统周期分岔解的拓扑结构和系统参数之间的关系并探讨了多自由度非线性系统的动力学行为，研究了描述具有高速扩散的某些物理、化学现象的奇异非线性微分方程的边值问题，讨论了带扩散的多种群相互作用的生态系统解的共存及唯一性等问题的研究。
本研究组人员共有9人，其中教授3人，副教授3人，讲师2人。另有在读博士生4人，硕士生16人。近年来在国内外著名数学杂志发表论文50多篇，其中近40篇被SCI收录。已主持完成国家自然科学基金面上项目2项，省、市自然科学基金项目3项；目前正主持国家自然科学基金面上项目2项。成果获天津市自然科学一、三等奖各一项。
4.最优化理论、算法及其应用
最优化是应用数学领域最活跃的学科之一，在经济，管理，能源，交通等社会领域以及军事，宇航，机械等工程领域都存在着广泛的应用。因而，其研究具有重要的理论意义及实际应用价值。本研究方向针对各种连续优化问题的理论、算法及其应用展开了一系列研究，得到的主要成果如下：
1 理论方面：利用度理论和同伦不变定理，对具有一般无界闭凸集约束的变分不等式问题建立了几个新的存在性定理，显著地推广了现有文献中的许多著名条件，包括 Eaves-Karamardian -More 、 Harker-Pang 、强制性、单调性等条件（ J. Optim. Theory Appl. 2004 ； 2003 （ V.118 ） 等）。建立了 P_0 函数非线性互补问题解集非空有界的一个新的充分条件，并证明了使用在连续化算法中的许多条件（包括 Luo-Tseng 、 Gowda-Tawhid 、 Kanzow-Yamashita-Fukushima 、 Kojima-Megiddo -Nama-Yoshise 、 Kanzow 、 Burke-Xu 、 Chen-Chen 、 Hotta-Yoshise 、 Kojima-Megiddo-Noma 等条件）都强于这一条件，也在很弱的条件下讨论了光滑型算法求解 P_0 函数非线性互补问题所得解的性质（ Oper. Res. Lett. 2002 ； Math. Meth. Oper. Res. 2005 等）。
2 算法方面：主要考察求解最优化问题的光滑型算法。（ a ）通过使用正则化技术，各种保证全局收敛性的条件被减弱到所求问题的解集非空有界（ Math. Program. 2004; J. Optim. Theory Appl. 2003(V. 117) 等）；这一条件被进一步的减弱到处理解集无界的情况（ Appl. Math. Optim. 2005 等）。 通过使用同次自对偶模型，考察了一个求解线性规划问题和线性互补问题的光滑型算法，在不需要任何条件的情况下算法是全局收敛的（ Appl. Math. Optim. 2007 等）。 (b) 给出了一个新的条件，显著地减弱了文献中普遍使用的保证全局线性收敛性的条件（ IMA J. Numer. Anal. 2005 等）。 (c) 对目前文献中普遍使用的保证局部超线性收敛性的条件作了统一处理并得到了迄今为止最好的结果，相关成果发表于国际优化领域的三大期刊之一的 Math. Program. (2004) 。（ d ）对以上三种主要的收敛性进行了统一处理，所设计的算法能同时保证其每一种收敛性的条件在现有文献中都是最弱的（ Appl. Math. Optim. 2005 等）。 （ e ）也设计了一些光滑型算法求解目前国际上研究非常热的非线性半定互补问题及平衡约束的数学规划问题（ Appl. Math. Optim. 2003; J. Indust. Manag. Optim. 2005 等）及二次约束的二次规划问题（ Comput. Optim. Appl. 2006 ）。 （ f ） 在很弱的条件下讨论了算法的有限终止性（ J. Global Optim. 2005 等）。 我们也设计了一个求解线性互补问题的光滑型算法，只需要现有文献中最弱的全局收敛性条件该算法就具有有限终止性（ Optim. Meth. Software 2006 等）。 （ g ） 也考察了非线性不等式系统的光滑型求解算法（ J. Comput. Appl Math . 2008 inpress ）。 （ｈ） 本项目组最近也在一般对称锥上的优化问题方面取得了一系列研究成果，已分别投入多个国际专业期刊。
3 应用方面：本研究方向也将优化的理论与算法应用于模糊随机系统、神经网络、金融数学、供应链管理、及数据包络分析等领域，相关成果发表于 Physics Lett. A (2004); European J. Opre. Res. (2006, 2008); IEEE Transactions on Fussy Systems (2006) 等国际期刊。
本研究组人员共有 13 人，其中教授 4 人，副教授 4 人，讲师 5 人。 另有硕、博研究生 50 余人。已完成多项国家自然科学基金及其它基金。目前正主持 2 项国家自然科学基金及多项其它省部级基金。五年内共发表论文 60 余篇，其中 SCI 检索 38 篇，被 SCI 期刊引用九十余次。获高校自然科学一等奖一项和天津市自然科学三等奖一项。
